The Laplace Transform of Vector-Valued Functions

Moedomo Soedigdomarto,

Data & Software Engineering Research Group
STEI-ITB, Jl. Ganeca No.10, Bandung 40132, Indonesia 

Teori klasik dari transformasi Laplace-Stieltjies

telah diperluas oleh E.  Hille l4l untuk fungsi-fungsi pada [0,∞] ke dalam ruang Banach X jang mempunjai sifat bahwa setiap bilangan positip R, dengan supermum yang diambil terhadap semua koleksi-koleksi hingga {[r_j, t_j]}_j=1 dari sub-interval²  lepas dari [0,R]. Setelah itu S.Zaidman (8) menyelediki hal jang serupa untuk fungsi-fungsi α jang bersifat kumpulan² variasinya V ([0,R], α) jaitu koleksi semua elemen dari X jang berbentuk,

merupakan sub kumpulan jang kompak di X.

Karangan ini membitjarakan kemungkinan untuk membangun teori transformasi Laplace-Stieltjes untuk fungsi² jang sifat2nja lebih umum daripada  fungsi² jang dipeladjari oleh Hille dan Zaidman. Ternjata bahwa banjak hukum² jang berlaku untuk transformasi fungsi dengan harga scalar berlaku djuga di sini.

Perhitungan absis konvergensi σ_c(α) dapat dikerdjakan serupa dengan perhitungan untuk fungsi² berharga scalar (lihat [6]), dan begitu pula dengan hukum² yang berhubungan dengan analistas berlaku di sini.

Suatu hal yang menarik ialah bahwa rumus inversi,

dengan a > max [0, σ_c(α)] tidak berlaku tanpa sjarat tambahan jang harus dipenuhi oleh fungsi α,

Demikian Hille telah membuktikan bahwa rumus inversi di atas berlaku bila α mempunjai variasi  jang terbatas absolute pada setiap interval jang hingga, sedangkan Zaidman mempergunakan sjarat tambahan bahwa pada variasi α pada setiap interval hingga adalah kompak.

Ternjata bahwa kedua sjarat di atas dapat diperlunak mendjadi sjarat bahwa variasi α pada setiap interval jang hingga harus kompak dalam topologi lemah dari X.Lagipula, rumus inverse akan berlaku tanpa syarat untuk α , asal ruang X adalah lengkap-lemah, chususnya bila X refleksif. Hasil ini kami dasarkan atas karya Bartle, Dunford, dan Schwartz.

Download Article